函数f对任意的实数m,n，有f=f+f，当x＞0时，有f＞0。①求证：②求证：f在上为

题文

（本小题满分12分）函数f（x）对任意的实数m,n，有f（m+n）=f（m）+f（n），当x＞0时，有f（x）＞0。
①求证：


②求证：f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．
③若f（1）=1，解不等式f（4^x－2^x）＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①证明略；
②证明略．
③{x|x<1}

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解析

①令

，则






           （3分）
②令

,则




 




 




 

是奇函数。
在（－∞，+∞）上任取

 则







即




函数

是增函数    （8分）
③原不等式可化为


由②得：

，






又

，




故,原不等式的解集为{x|x<1}．  （12分）

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）函数f（x）对任意的.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。