已知函数(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.求实数a的值所组成的集合A；设关于x的方程的两实数根为x1、x2,试问:是否存在

题文

（本小题满分14分）已知函数

(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值所组成

的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程

的两实数根为x₁、x₂,试问:是否存在实数m,使得不等式

对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由? 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）A=[-1，1]；
（Ⅱ）存在实数m满足题意，m的取值范围为{m| m≥2或m≤-2}

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解析

（Ⅰ）



因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f^‘(x)≥0在区间x∈[-1,1]恒成立，即有x²-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。  
构造函数g(x)=x²-ax-2
∴满足题意的充要条件是：


所以所求的集合A=[-1，1] ………(7分)
（Ⅱ）由题意得：

得到：x²-ax-2=0………(8分)
因为△=a

²+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x₁、x₂由根与系数的关系有：

……(9分)
因为a∈A即a∈[-1，1]，所以

要使不等式

 对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，当且仅当对任意的t∈[-1,1]恒成立……(11分)
构造函数φ（x）="m2+tm-2=mt+(m2-2)" ≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立的充要条件是


 m≥2或m≤-2.故存在实数m满足题意且为{m| m≥2或m≤-2}为所求    （14分）

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数(x∈R)在.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。