对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把()叫闭函数。求闭函数符合条件②的区间

题文

对于定义域为D的函数

，若同时满足下列条件：①

在D内单调
递增或单调递减；②存在区间[

]

，使

在[

]上的值域为[

]；那么把


(

)叫闭函数。
（1）求闭函数

符合条件②的区间[

]；
（2）判断函数

是否为闭函数？并说明理由；
（3）若函数

是闭函数，求实数

的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[-1，1]
（2）该函数不是闭函数
（3）

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解析

（1）由题意，

在[

]上递减，则

解得


所以，所求的区间为[-1，1]        

 

 （2）取

则

，即

不是

上的减函数。取



，
即

不是

上的增函数，
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。
（3）若

是闭函数，则存在区间[

]，在区间[

]上，函数

的值域为[

]，即

，

为方程

的两个实根，
即方程

有两个不等的实根。
当

时，有

，解得

。当

时，有

，无解。                综上所述，

。

考点

据考高分专家说，试题“对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。