已知对于任意的总有，且时，① 求证: 在上是减函数② 求在上的最大值和最小值。

题文

已知

对于任意

的总有

，且

时，




① 求证:

在

上是减函数
② 求

在

上的最大值和最小值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

①略
②f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

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解析

证明：(1

)设x₁>x₂，则f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁－x₂＋x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)＋f(x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)
又∵x>0时，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)，∴f(x)在R上是减函数．
(2)解：∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2 ，由题意知f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴

f(x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

考点

据考高分专家说，试题“ 已知对于任意的总有，且时，① 求证: .....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。