题文
已知
对一切实数
都有
，当
＞0时，
＜0
（1）证明
为奇函数；
（2）证明
为R上的减函数；
（3）解不等式
＜4. 题型：未知 难度：其他题型
答案
略点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习
解析
（1）证明：依题意取
有
……………………………………………………………………………1分
又取
可得
即
……………………………………………………………3分
由
的任意性可知
为奇函数……………………………………………………4分
（2）证明：设
，则
，其中
………………………5分
………………………………………………………………………7分
即
在
上减函数………………………………………………………………8分
（3）解：依题意有
………………………………………………9分
不等式可化为
即
…………………………………………………………10分
因为
是
上的减函数
解得
或
……………………………………………11分
所以不等式的解集为
或
………………………………………………12分
考点
据考高分专家说，试题“已知对一切实数都有，当＞0时，＜0（1）.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
