已知函数的定义域为R，对任意的实数都有求f(1)；判断函数的增减性并证明；

题文

（本小题满分12分）已知函数

的定义域为R，对任意的实数

都有

 
（1）求f(1)；
（2）判断函数

的增减性并证明； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(1)=f(

)+f(

)+

=

.
（2）f(x)在R上是增函数。

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解析

（1）令x=y=

，得f(1)=f(

)+f(

)+

=

.……………………………………5分
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₂＞x₁,Δx=x₂-x₁＞0，则
Δy=f(x₂)-f(x₁)=f(x₁+Δx)-f(x₁)=f(Δx)+f(x₁)+

-f(x₁)=f(Δx)+


=" f" (Δx)+

+f(

)=f(Δx+

)
又Δx＞0，∴Δx+

＞

，由题知f(Δx+

)＞0，即f(x₂)＞f(x₁)，
所以f(x)在R上是增函数………………………………………………………………12分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数的定义域为R.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。