已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=. (1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；当an=n·f(n), n∈N*,求证a1+

题文

已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=

.
(1)当n∈N^*时，求f(n)的表达式；
（2）当a_n=n·f(n), n∈N^*,求证a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）设bn=

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(n)｝为首页f(n)=




（2）略
（3）

=

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解析

(1)解：令x=n,y=1得，f(n+1)=f(n)·f(1),
∴｛f(n)｝为首页f(n)=



.
(2)证明a_n=n·f(n),= n·(

)ⁿ,由错位相减法证得a₁₊a₂+a₃+…+a_n=2-

；
(3)解：∵

,
∴

.
故

.
∴


=


=

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。