题文
（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．设
为定义域为
的函数，对任意
，都满足：
，
，且当
时，
（1）请指出
在区间
上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明
是周期函数，并求其在区间
上的解析式． 题型：未知 难度：其他题型
答案
略点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习
解析
解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分
最大值为
、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分
单调递增区间：
单调递减区间：
；...…………………………………………1分
零点：
．.…………………………..……………………………………………………1分
单调区间证明：
当
时，
设
，
，
证明
在区间
上是递增函数
由于函数
是单调递增函数，且
恒成立，
所以
，
，
所以，
在区间
上是增函数．…………………………………………………….4分
证明
在区间
上是递减函数
【证法一】因为
在区间
上是偶函数．
对于任取的
，
，有
所以，
在区间
上是减函数．…………………………………………………..4分
【证法二】设
，由
在区间
上是偶函数，得
以下用定义证明
在区间
上是递减函数………………………………………..4分
（2）设
，
，
所以，2是
周期． ……………………………………………………………4分
当
时，
，
所以
………………………………………….4分
考点
据考高分专家说，试题“（满分20分）本题有2小题，第1小题12.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
