已知函数的定义域为，且满足条件：①，②③当.求证：函数为偶函数；讨论函数的单调性；求不等式的解集

题文

已知函数

的定义域为

，且满足条件：①

，②

③当

.
（1）求证：函数

为偶函数；
（2）讨论函数

的单调性；
（3）求不等式

的解集 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）在①中令x="y=1," 得f(1)= f(1)+ f(1)

 f(1)=0,
令x=y=－1, 得f(1)= f(－1

)+ f(－1)

 f(－1)=0,
再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1)

 f(x), ∴f(x)为偶函 数；
（2）在①中令


先讨论

上的单调性， 任取x₁http:///x₂，设x₂>x₁>0，



由③知：

>0，∴f(x₂)>f(x₁)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函数，
∵偶函数图象关于y轴对称 ，∴f(x)在（－∞，0）上是减函数；
（3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(

4)= f(－4)，
1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上为

增函数，
由f[x(x－3)] ≤f(4) 得



2）若x(x－3)<0

, ∵f(x)在（－∞，0）上为减函数；
由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 


∴原不等式的解集为：

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知函数的定义域为，且满足条件：①，②③.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。