题文
（本小题满分14分）已知函数
对于任意
都有
且当
时，有
。
（1） 判断
的奇偶性与单调性，并证明你的结论；
（2） 设不等式
对于一切
恒成立，求整数
的最小值。 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）令
，得
，解得
令
得
，
所以，
是奇函数。 ………………………3分
设
，则
，由条件得
，
因此，
所以，
在
上为减函数。 ………………………6分
（2）由
，得
，因此，
，所以原不等式可化为
；
①当
时，由数学归纳法可证得
下面用数学归纳法证明
。（
）
ⅰ。当
时，左边=
=右边，等式成立。
ⅱ。假设
时等式成立，即
。
当
时，
这说明当
时等式也成立。
根据ⅰ、ⅱ可知，对任意
，均有
成立。
②当
时，
式显示成立；
③当
时，由奇函数性质可证明
式也成立；
所以，有
，
由单调性得
，对于
恒成立。………………10分
解法一：由
恒成立，令
。
由基本不等式可得
，因此
，
又由
，得
。 ………………14分
解法二：设
，
对于
恒成立。
①若
，此时
无解；
②若
。
③若
。
综上可得：
又
，所以
。 ………………14分
解法三:由已知易得
，令
，得
，因此
，即
，又由于
可取到
，所以
。 ………………14分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数对于任意都有.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
