题文
（本小题满分14分）已知函数
在
上有定义，对任意实数
和任意实数
，都有
.
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）证明
（其中k和h均为常数）；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中
的时，设
，讨论
在
内的单调性. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）
（Ⅲ）
在区间
内单调递减, 在区间（
）内单调递增.
点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习
解析
本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理的能力。（1）对于任意的a>0，
，均有
①在①中取
(2) 令
时，∵
，∴
，则
而
时，
，则
而
， ∴
，即
成立
赋值法得到结论。
（3）由（Ⅱ）中的③知，当
时，
，
分析导数得到单调区间。
（Ⅰ）证明：对于任意的a>0，
，均有
①
在①中取
∴
②
（Ⅱ）证法一：当
时，由①得
取
，则有
③
当
时，由①得
取
，则有
④
综合②、③、④得
;
证法二:
令
时，∵
，∴
，则
而
时，
，则
而
， ∴
，即
成立
令
，∵
，∴
，则
而
时，
，则
即
成立。综上知
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，当
时，
，
从而
又因为k>0，由此可得
－
0
+
↘
极小值2
↗
所以
在区间
内单调递减，在区间（
）内单调递增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，当
时，
，
设
则
又因为k>0，所以
（i）当
；
（ii）当
所以
在区间
内单调递减, 在区间（
）内单调递增.
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数在上有定义，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
