题文
设函数
,给出下列四个命题：
①当
时，函数
是单调函数
②当
时，方程
只有一个实根
③函数
的图象关于点
对称
④方程
至多有3 个实根，其中正确命题的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个 题型：未知 难度：其他题型
答案
D点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习
解析
因为f（x）=x|x|+bx+c=
，对于①当x≥0时，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）递增，当x＜0时，f'（x）＞0，所以y=f（x）递增又y=f（0）=c连续．故当b≥0时，函数y=f（x）是单调函数； ①对．
对于②因为f（x）=
当x≥0时无根，当x＜0时，有一根x=-
．故当b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；②对．
对于③设g（x）=x|x|+bx，因为g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，又函数y=f（x）的图象可以由g（x）=x|x|+bx的图象上下平移c个单位得到．故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；故③对．
对于④分各种情况来讨论b，c，并求出对应方程的根，就可说明④成立．故④对．
故选 D．
点评：解决该试题的关键是通常带绝对值的函数研究其性质时，要去掉其绝对值符号进行.①去掉其绝对值符号，判断出其在每一段内都单调且连续即可．
②把b=0，c＞0代入，去掉其绝对值符号，解对应方程即可得结论．
③利用g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，和g（x）=x|x|+bx与y=f（x）的关系可得结论．
④对于b，c分各种情况来讨论，并求出对应方程的根，可下结论
考点
据考高分专家说，试题“设函数,给出下列四个命题：①当时，函数是.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
