题文
（本小题满分14分）已知函数
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若数列
，
求数列
的通项公式；
（Ⅲ）若数列
满足
，
是数列
的前
项和，是否存在正实数
，使不等式
对于一切的
恒成立？若存在，请求出
的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）
=1；（2）
（3）
.
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解析
（1）由f（x）+f（1-x）= =1，能得到f（
）+f（
）=1．由此规律求值即可
（2）由an=f（0）+f(
)+f(
)+…+f(
)+f（1）（n∈N*），知an=f(1)+f(
)+f(
)+…+f（
）+f（0）（n∈N*），由倒序相加法能得到an
（3）由bn=2n+1•an，知bn=(n+1)•2n，由Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，利用错位相减法能求出Sn=n•2n+1，要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，由此能够证明当k＞4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立．
解：（1）
=
+
=
+
=1
（2）∵
①
∴
②
由（Ⅰ），知
=1
∴①+②，得
（3）∵
，∴
∴
， ①
， ②
①－②得
即
要使得不等式
恒成立，即
对于一切的
恒成立，
法一：
对一切的
恒成立，
令
，
∵
在
是单调递增的, ∴
的最小值为
∴
＝
, ∴
.
法二：
. 设
当
时，由于对称轴直线
，且
，而函数
在
是增函数， ∴不等式
恒成立
即当
时，不等式
对于一切的
恒成立
点评：解题时要注意倒序相加法、错位相减法的灵活运用．
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求的.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
