题文
（本题满分12分）设函数
，
(1) 如果
且对任意实数
均有
,求
的解析式；
(2) 在(1)在条件下, 若
在区间
是单调函数,求实数
的取值范围；
(3) 已知
且
为偶函数，如果
，求证：
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
的取值范围是
；
（3）
．
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解析
(1) 根据二次函数的函数值f(1)=0和函数值恒大于等于零得到及解析式。
(2) 在(1)在条件下,要是函数单调递增，则根据对称轴与定义域的关系分类讨论得到。
(3) 结合奇偶性的性质，以及函数单调性得到不等式的证明。
解（1）∵
，∴
（1分）
对任意实数
均有
恒成立，
即对任意实数
均有
恒成立（2分）
当
时，
，这时,
，它不满足
恒成立（3分）
当
时，则
且
,
（4分）
从而
,∴
（5分）
（2）由（1）知
∴
=
（6分）
在区间
是单调函数
或
，即
或
的取值范围是
（7分）
（3） ∵
是偶函数，∴
（8分）
故
,
（9分）
∵
,∴当
时
中至少有一个正数，即
都是正数或一个正数，一个负数
若
都是正数，则
，所以
（10分）
若
一个正数，一个负数，不妨设
，又
则
=
（11分）
综上可得，
．（12分）
点评：解决该试题的关键是能通过解析式的特点以及二次函数的性质，来得到判别式小于等于零，从而得到解析式。
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分12分）设函数，(1)如果且对.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
