定义在R上的函数，，当时，，且对任意实数，有，求证：；证明：是R上的增函数；若，求的取值范围。

题文

定义在R上的函数

，

，当

时，

，且对任意实数

，
有

，
求证：

；
（2）证明：

是R上的增函数；
（3）若

，求

的取值范围。题型：未知难度：其他题型

答案

（1）a=b=0，得f(0)=1。
（2）任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0
利用

得到 f(x₂)>f(x₁) 。
（3）0

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解析

（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]²∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 4
（2）任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0
∴

∴ f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函数
8
（3）f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴ 由f(3x-x²)>f(0)得：x-x²>0 ∴ 0点评：中档题，本题作为一道“连环题”，可采用分步得分的原则，首先利用“赋值法”解题。本题主要难点是配凑

。抽象函数不等式的解法，主要是利用函数的单调性，转化成具体不等式求解。

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数，，当时，，且对任意实数.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。

定义在R上的函数，，当时，，且对任意实数，有，求证：；证明：是R上的增函数；若，求的取值范围。

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