题文
求出所有的函数
使得对于所有
，
都能被
整除. 题型：未知 难度：其他题型
答案
，x
.
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解析
取
得到
，再分别取
和
，可得到
。
解：根据题目的条件，令
，则
能被
整除.
因此
能被
整除，也就是
能被
整除.
因为
与
互素，所以
能被
整除，且
，所以
，
.
令
，则
能被
整除，因此
.从而
，对所有x
.
令
，则
能被
整除.从而
，对所有y
.
综上所述，
，对所有x
.
点评：本题考查了数的整除性，分类讨论的思想．关键是将原题的整除问题进行转化，分类求解．
考点
据考高分专家说，试题“求出所有的函数使得对于所有，都能被整除......”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
