某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)＝x(x＋1)(41－2x

题文

某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：
P(x)＝

x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N^*)
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；
(2)若第x月的销售量g(x)＝


(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝

，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e⁶≈403) 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)＝－3x²＋42x(x≤12，x∈N^*)（2）预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元

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解析

(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.
当x≥2时，
f(x)＝P(x)－P(x－1)＝

x(x＋1)(41－2x)－

(x－1)x(43－2x)
＝3x(14－x)．
∴f(x)＝－3x²＋42x(x≤12，x∈N^*)．(5分)
(2)设月利润为h(x)，
h(x)＝q(x)·g(x)＝


h′(x)＝

 (9分)
∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，
当6＜x＜7时，h′(x)＜0，
∴当1≤x＜7且x∈N^*时，h(x)_max＝30e⁶≈12 090，(11分)
∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，
∴当7≤x≤12且x∈N^*时，h(x)_max＝h(8)≈2 987.
综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．(14分)

考点

据考高分专家说，试题“某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。