如果对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,(1)求f(2),f(3),f(4)的值.(2)求+++…+++的值.

题文

如果对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,
(1)求f(2),f(3),f(4)的值.
(2)求

+

+

+…+

+

+

的值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) f(2)=4   f(3)=8   f(4)=16   (2)2014

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解析

(1)∵对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,
∴f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=2²=4,
f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=2³=8,
f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=2⁴=16.
(2)由(1)知


=2,

=2,

=2,…,

 =2.
故原式=2×1007=2014.

考点

据考高分专家说，试题“如果对任意实数x,y,都有f(x+y)=.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。