已知函数f=x2-4x+a+3，g=mx+5-2m。(1)若y=f在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围； (2)当a=0时，若对

题文

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m。
(1)若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)=g(x₂)成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数y=f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p） 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)：因为函数f（x）=x²-4x+a+3的对称轴是x=2，所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
因为函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，
则必有：

即

，解得

，
故所求实数a的取值范围为[-8，0] ；
(2)若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)=g(x₂)成立，
只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集。
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域为[-1，3]，下求g(x)=mx+5-2m的值域。
①当m=0时，g(x)=5-2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g(x)的值域为[5-m，5+2m]，
要使[-1，3]

[5-m，5+2m]，需

，解得m≥6；
③当m＜0时，g(x)的值域为[5+2m，5-m]，
要使[-1，3]

[5+2m，5-m]，需

，解得m≤-3；
综上，m的取值范围为

。
(3)由题意知

，可得


①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，
所以f(t)-f(2)=7-2t，即t²-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；
②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，
所以f(4)-f(2)=7-2t即4=7-2t，解得t=

；
③当2＜t＜时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，
所以f(4)-f(t)=7-2t即t²-6t+7=0，解得t=

（舍去）；
综上所述，存在常数t满足题意，t=-1或

。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-4x+a+.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。