已知二次函数g(x)的图象经过坐标原点，且满足g(x+1)=g(x)+2x+1，设函数f(x)=mg(x)-ln(x+1)，其中m为非零常数．(Ⅰ)

题文

已知二次函数g(x)的图象经过坐标原点，且满足g(x+1)=g(x)+2x+1，设函数f(x)=mg(x)-ln(x+1)，其中m为非零常数．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)为单调减函数，求m的范围；
(Ⅲ)当m＞0，x∈[0，1]时，求f(x)的最大值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)设g(x)=ax²+bx+c，g(x)的图象经过坐标原点，所以，c=0，
∵g(x+1)=g(x)+2x+1，
∴a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+2x+1，
即：ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+(b+2)x+l，
∴a=1，b=0，g（x)=x²。
(Ⅱ)函数f(x)=mx²-ln(x+1)的定义域为（-1，+∞），
令ψ(x)=2mx²+2mx-1，
由已知f′(x)≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即ψ(x)=2mx²+2mx-l≤0在（-1，+∞）上恒成立，
①当m＞0时，不符合条件；



 ②当m＜0，ψ(x)的图象如下，



只需

，
即

，
∴m≥-2，
综上：-2≤m＜0。
(Ⅲ)由已知
①ψ(1)=4m-1≤0时，即0＜m≤

时，f(x)′≤0在[0，1]上恒成立，
f(x)在[0，1]上递减，f(x)_max=f(0)=0；
②当m＞

时，





，设

，
则f（x）在

，
f(0)=0，f(1)=m-ln2，
当

＜m＜ln2时，f(x)_max=f(0)=0；
当m≥ln2时，f(x)_max=f(1)=m-ln2；
综上：0＜m＜ln2时，f(x)_max=f(0)=0；m≥ln2时，f(x)_max=f(1)=m-ln2．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数g(x)的图象经.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。