在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．(Ⅰ)求实数b的取值范

题文

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x²+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
(Ⅰ)求实数b的取值范围；
(Ⅱ)求圆C的方程；
(Ⅲ)问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)显然b≠0．
否则，二次函数f(x)=x²+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，（-2，0），
这与题设不符，
由b≠0知，二次函数f(x)=x²+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，
故它与x轴必有两个交点，
从而方程x²+2x+b=0有两个不相等的实数根，
因此方程的判别式4-4b＞0，即b＜1，
所以b的取值范围是(-∞，0)∪(0，1)．
(Ⅱ)由方程x²+2x+b=0，得

，
于是，二次函数f(x)=x²+2x+b的图象与坐标轴的交点是

，
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得


，
解上述方程组，因b≠0，得

，
所以，圆C的方程为x²+y²+2x-(b+1)y+b=0。
(Ⅲ)圆C过定点．
证明如下：假设圆C过定点(x₀，y₀)（x₀，y₀不依赖于b），
将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x₀²+y₀²+2x₀-y₀+b（1-y₀）=0，（*）
为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，
必须有1-y₀=0，结合(*)式得x₀²+y₀²+2x₀-y₀=0，
解得

或

，
经检验知，点(0，1)，（-2，1）均在圆C上．
因此，圆C过定点．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xOy中，设.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。