题文
设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点，g(x)=ax3+bx-3(x＞0)，f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f′(0)=0，f′(-1)=-2，f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的极小值；
(3)是否存在实常数k和m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：(1)由已知得t=0，f′（x）=2mx+n，则f′(0)=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，
从而n=0，m=1，
∴f(x)=x2，
，
由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，得a+b-3=1，3a+b=2，
解得a=-1，b=5，
∴
。
(2)
，
求导数得
，
∴F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
从而F(x)的极小值为F(1)=0．
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1，1)，而函数f(x)在点(1，1)的切线方程为y=2x-1，
下面验证
都成立即可．
由
得
，知f(x)≥2x-1恒成立；
设h（x）=-x3+5x-3-（2x-1），即h(x)=-x3+3x-2（x＞0），
求导数得h′(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)(x＞0)，
∴h（x）在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以h（x）= -x3+5x-3-（2x-1）的最大值为h(1)=0，
所以-x3+5x-3≤2x-1恒成立，
故存在这样的实常数k和m，且k=2，m=-1。
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“设二次函数f(x)=mx2+.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
