题文
已知函数f(x)=2x+1定义在R上，(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和，设h(x)=t，p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R)，求出p(t)的解析式；
(2)若p(t)≥m2-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
(3)若方程p(p(t))=0无实根，求m的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，则有f(-x)=g(-x)+h(-x)，即f(-x)=g(x)-h(x)，②
由①②解得g(x)=
，h(x)=
，
∵f(x)定义在R上，
∴g(x)，h(x)都定义在R上，
∵g(-x)=
=g(x)，h(-x)=
=-h(x)，
∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，
∵f(x)=2x+1，
∴g(x)=
，
h(x)=
，
由
=t，则t∈R，
平方得t2=
，
∴g(2x)=22x+
=t2+2，
∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1。
(2)∵t=h(x)对于x∈[1，2]单调递增，
∴
，
p(t)=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈
恒成立，
∴m≥-
对于t∈
恒成立，
令φ(t)=-
，则φ′(t)=
，
∵t∈
，∴φ′(t)=
＜0，
故φ(t)=-
在t∈
上单调递减，
∴φ(t)max=
，
∴m≥
为m的取值范围．
(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1，
若p(p(t))=0无实根，即[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1=0①无实根，
方程①的判别式△=4m2-4(m2-m+1)=4(m-1)，
1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根；
2°当方程①的判别式△≥0，
即m≥1时，方程①有两个实根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±
，
即t2+2mt+m2+1±
=0②，
只要方程②无实根，故其判别式△=4m2-4(m2+1±
)＜0，
即得-1-
＜0③，且-1+
＜0④，
∵m≥1，③恒成立，
由④解得m＜2，
∴③④同时成立得1≤m＜2；
综上，m的取值范围为m＜2。
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x+1定.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
