已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称，(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)若函数f(x)无极值，求c的取值范围；(Ⅲ)若f(x)

题文

已知函数f(x)=x³-bx²+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称，
(Ⅰ)求b的值；
(Ⅱ)若函数f(x)无极值，求c的取值范围；
(Ⅲ)若f(x)在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)f′(x)=3x²-2bx+2c，
∵函数f′(x)的图象关于直线x=2对称，
∴

，即b=6．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³-6x²+2cx，
f′(x)=3x²-12x+2c=3(x-2)²+2c-12，
当c≥6时，f′(x)≥0，此时f(x)无极值。
(Ⅲ)当c＜6时，f′(x)=0有两个互异实根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂，
当x＜x₁时，f′(x)＞0，f(x)在区间(-∞，x₁)内为增函数；
当x₁＜x＜x₂时，f′(x)＜0，f(x)在区间(x₁，x₂)内为减函数；
当x＞x₂时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x₂，+∞)内为增函数，
所以f(x)在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值，
因此，当且仅当c＜6时，函数f(x)在x=x₂处存在唯一极小值，所以t=x₂＞2，
于是g(t)的定义域为(2，+∞)，
由f′(t)=3t²-12t+2c=0，得2c=-3t²+12t，
于是g(t)=f(t)=t³-6t²+(-3t²+12t)t=-2t³+6t²，t∈(2，+∞)，
当t＞2时，g′(t)=-6t²+12t=-6t(t-2)＜0，
所以函数g(t)在区间(2，+∞)内是减函数，故g(t)的值域为(-∞，8)。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x3-bx.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。