题文
已知函数f（x）=ax2+bx+c中，a+b+c=0，a>b>c。（Ⅰ）证明函数f（x）有两个不同的零点；
（Ⅱ）若存在x∈R，使ax2+bx+a+c=0成立。
①试判断f（x+3）的符号，并说明理由；
②当b≠0时，证明关于x的方程ax2+bx+a+c=0在区间（
，0）和（0，1）内各有一个实根。 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：因为a+b+c=0，a>b>c，
所以b=-a-c，a>0，c＜0；
（Ⅰ）证明：因为二次方程f（x）=0的根的判别式，
△=b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2，
由a>c，得△=（a-c）2>0，
故方程f（x）=0有两个不同的实根，即函数f（x）有两个不同的零点；
（Ⅱ）由ax2+bx+a+c=0，得f（x）=-a，
①函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，
由f（x）=-a＜0，知实数x介于方程f（x）=0的 两根之间，
由于f（1）=a+b+c=0，则1是方程f（x）=0的一个根，
又由根与系数的关系，得另一个根为
，
由a+b+c=0，a>b，得a>-a-c
所以a>
，即
>-2
故x+3>
+3>-2+3=1
因此f（x+3）为正，
②令g（x）=ax2+bx+a+c，则g（x）=f（x）+a，
所以，g（
）=f（
）+a=a>0，
g（1）=f（1）+a>0
因为二次方程ax2+bx+a+c=0有实数根，所以
△=b2-4a（a+c）=（-a-c）2-4a（a+c）
=-3a2-2ac+c2≥0，
即（3a-c）（a+c）≤0，
解得
又a>0，且b=-（a+c）≠0，
所以0＜a＜-c，
所以a+c＜0，
故g（0）=f（0）+a=a+c＜0，
因此，关于x的方程ax2+bx+a+c=0在区间
和（0，1）内各有一个实根。
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+b.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
