题文
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=﹣t2+8t（其中0≦t≦2．t为常数）；l2：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16则
，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+8x
（Ⅱ）由
得x2﹣8x﹣t（t﹣8）=0，
∴x1=t，x2=8﹣t，∵0≦t≦2，
∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，﹣t2+8t）由定积分的几何意义知：
=
=
（Ⅲ）令H（x）=g（x）﹣f（x）=x2﹣8x+6lnx+m
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则
函数H（x）=x2﹣8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴
∴x=1或x=3时，H'（x）=0
当x∈（0，1）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数,
当x∈（1，3）时，H'（x）＜0，H（x）是减函数
当x∈（3，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数
∴H（x）极大值为H（1）=m﹣7；H（x）极小值为
H（3）=m+6ln3﹣15
又因为当x→0时，H（x）→﹣∞；
当x→+∞时，H（x）→+∞
所以要使Η（x）=0有且仅有两个不同的正根
，必须且只须
即
，
∴m=7或m=15﹣6ln3．
∴当m=7或m=15﹣6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
