题文
已知函数f（x）=x2﹣（a2﹣a）x﹣2
（1）若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[2，4]上的最大值g（a）；
（3）求g（a）的最大值．
答案
解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a2﹣a）x﹣2的图象是开口方向朝上，以x=
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/37c6b47b7ed335afa1a4c8139b8b6490.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
为对称轴的抛物线若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，
则
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/b2614c27ae10c9ed402b6b9a5288cf37.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
≤1，或
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/bb2d82ddc2b8af25571c9580a24c02d2.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
≧3
解得a≤﹣2，或﹣1≤a≤2，或a≥3
故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，2]∪[3，+∞）
（2）当
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/2193e707779782a706b3222bfe36c0b1.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
≧3，
即a≤﹣2，或a≧3时，
f（x）在[2，4]上的最大值
g（a）=f（2）=﹣2（a2﹣a）+2；
当
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/b273e50e88933a4507d8e60409367e04.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
＜3，即﹣2＜a＜3时，
f（x）在[2，4]上的最大值
g（a）=f（4）=﹣4（a2﹣a）+14；
故g（a）=
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/967aadc7534f8763ca47d48cf9fbc67d.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
（3）由（2）得当a≤﹣2，或a≥3时，
g（a）的最大值为﹣10
当﹣2＜a＜3时g（a）的最大值为15
故g（a）的最大值为15
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2﹣.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/Fl1KfkZWMK0Vky4idjNtzd6IBjXG.gif "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/Fmj0LUbDemJyMfGMYR1N6Fv2vlcl.gif "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FkXvvFT3bitHP-8C7aR6_hAruoDy.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
；
③有顶点![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FjKS7oInmVgX6sLTiPUr5w3WQ-cq.png "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FvhJGqWmoQ6QPNLh_abG2m5FS9Uu.gif "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FqSHS-abSRFK0K_IfX52Mn3x9C57.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
值域a>0a<0
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FuHB_8MeSobWfS66z8gmVyK6vISs.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FmdYiDisM0Fz2JIRAC8dELN3Pr3A.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/Fq0nBqEsPKk_iKT9ZILv_5j4PGGz.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FuNtcuQW9_HsB5cko358X-hX2jV0.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/Ftz5YTTKKeK4-Jn6cNwBcEXnz5h0.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FvUqMEaMDJmS3CHTUu_Slh44ikAz.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/Fsmi4qKhw-yiiX9zoTZoHZ7gU-OW.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
图像特点
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FtRpkkfr-xe0QMySNDBHGGqEasVh.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FjAoYFhcoJ1vBk_oldASGBA3PNRm.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FkB_xjGZkQ6n4JqLzyVrV37dEayB.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
,则其解析式为![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FplGW9o2vTxXWj-XaRdhghq6aNW6.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FjnDwMoNjBr7yxMv9U_-jlNDwHxd.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的"){kind=small}
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FkK1NCJkLe_FL44jbmSgv5-GAswd.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的"){kind=small}
![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FtCEXfASxJsja7I8TVtLwNT8XFRX.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FuS9UkVc94u0tf8VCqZMpj2_WR4_.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
．
①![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/Fh5eGFr7wYDwUhDGWJ0uaKq95Zuu.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
②![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FpPDvQvkWRACibSaL3kZL6oT-iFD.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
③![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FlE-hpF2SjRXyc21UceRggmnQHhE.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
④![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FkkzBLIH5nxV2QsTtkSrH8EWb2mX.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FifuheddP6bHlJMrcI920HEiiX8p.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：![已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220108/FltLphg_0rz0rOUCX0mKn1l02GNm.jpg "已知函数f=x2﹣x﹣2 若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的")
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
