已知函数f=ax2+bx满足条件f=f，且函数g=f﹣x只有一个零点． 求函数f（x

题文

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax²+bx 满足条件 f（1﹣x）=f（1+x），
所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．
所以﹣

=1，即b=﹣2a．
因为函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点，
即ax²﹣（2a+1）x=0有等根．所以△=（2a+1）2=0．
即a=﹣

，b=1．所以f （x）=﹣

x²+x．      
（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是﹣

x²+x=3x的两根．解得m=﹣4，n=0；                    
②当m≤1≤ n时，3n=

，解得n=

．不符合题意；  
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即﹣

m²+m=3n，﹣

n²+n=3m．
相减得﹣

（m²﹣n²）+（m﹣n）=3（n﹣m）．
因为m≠n，所以﹣

（m+n）+1=﹣3．所以m+n=8．
将n= 8﹣m代入﹣

m²+m=3n，得﹣

m²+m=3（8﹣m）．
但此方程无解．
m=﹣4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+bx（a.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。