题文
已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，
∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立
∵x+a=a﹣x不能恒成立
∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．
（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，
等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，
即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，
令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，
因为h（0）=﹣a2＜0，
所以
，故0＜a＜1；
同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；
当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．
综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
（3）令F（x）=f（x）·g（x）
①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），
对称轴
，函数在[1，2]上是增函数，
所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．
②当1＜a≤2时，
，
对称轴
，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，
在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2，
1）若F（1）＜F（2），即
，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；
2）若F（1）≥F（2），即
，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．
③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）
对称轴
，此时
，
④当a＞4时，对称轴
，此时
．
综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x﹣a|，g（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
