已知函数，．当b=0时，若f在求满足下列条件的所有整数对：存在x0，使得f（x0

题文

已知函数

，

．
（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）对满足（2）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D={x|x∈R且x≠2k，k∈Z}上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（﹣2，0）时，h（x）=f（x）．题型：未知难度：其他题型

答案

解：（1）当b=0时，f（x）=ax²﹣4x，
若a=0，f（x）=﹣4x，则f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，符合题意；
若a≠0，要使f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，必须满足

∴0＜a≤1．
综上所述，a的取值范围是[0，1]
（2）若a=0，

，则f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足

即a＜0且

，
此时，

时，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值时，x₀=a，
依题意，有

，则

，
∵a＜0且

，
∴

，得a=﹣1，
此时b=﹣1或b=3．
∴满足条件的整数对（a，b）是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．
（3）当整数对是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）时，f（x）=﹣x²﹣2x
∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2为周期的周期函数，
又当x∈（﹣2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：
当x∈（2k﹣2，2k），k∈Z，则
h（x）=h（x﹣2k）=f（x﹣2k）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），
故h（x）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），x∈（2k﹣2，2k），k∈Z．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数，．（1）当b=0时.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点