已知二次函数f=ax2+bx，f为偶函数，函数f的图象与直线y=x相切．求f的解析式；已知k的取值范围为[，+∞）

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知k的取值范围为[

，+∞），则是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f（x+1）为偶函数，
∴f（﹣x+1）=f（x+1），
即a（﹣x+1）²+b（﹣x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，
∴2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴f（x）=ax²﹣2ax，
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax²﹣（2a+1）x=0有两相等实数根，
∴△=（2a+1）²﹣4a×0=0，
∴a=

，
即有f（x）=﹣

x²+x
（2）∵f（x）=﹣

（x﹣1）²+

≤

，
∴[km，kn]

（﹣∞，

]，
∴kn≤

，又k≥

，
∴n≤

≤

，
又[m，n]

（﹣∞，1]，f（x）在[m，n]上是单调增函数，
∴

即


即m，n为方程﹣

x2+x=kx的两根，
解得

=0，x₂=2﹣2k．
∵m＜n且k≥

．
故当

≤k＜1时，[m，n]=[0，2﹣2k]；
当k＞1时，[m，n]=[2﹣2k，0]；
  当k=1时，[m，n]不存在

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。