设f=3ax2-2bx+c，若a-b+c=0，f＞0，f＞0．求证：方程f=0在区间内有两个不等的实数根；若a，b

题文

设f（x）=3ax²-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；
（2）若a，b，c都为正整数，求a+b+c的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）f（0）=c＞0①，
f（1）=3a-2b+c＞0②，a-b+c=0③，
由①③得：a-b＜0⇒a＜b④，由②③得：2a-b＞0⇒2a＞b⑤，
由④⑤得：2a＞b＞a⑥，∵b=a+c代入②得：a＞c∴a＞0
∴由⑤得：1＜ba＜2…（4分）
∵对称轴x=b3a∈(13，23)，
又f（0）＞0，f（1）＞0
且△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=（2a-c）²+3c²＞0
∴方程f（x）=0在（0，1）内有两个不等实根．…（10分）
（2）若a，b，c都为正整数，f（0）、f（1）都是正整数，
设f（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），其中x₁，x₂是f（x）=0的两根，
则x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂
∵1≤f(0)f(1)=9a2x1(1-x1)x2(1-x2)＜9a216
∴9a²＞16，a为正整数，
∴a≥2，
∴a+b+c≥2+（2+c）+c=4+2c≥6…（15分）
若取a=2，则ba=b2∈(1，2)得：b∈（2，4）
∵b为正整数，∴b=3，c=b-a=1f（x）=6x²-6x+1=0的两根都在区间（0，1）内，
∴a+b+c的最小值为6．…（18分）

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解析

ba

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=3ax2-2bx+c，若a-.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。