抛物线方程为y2=p，直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．求证：直线与抛物线总有两个交点；设直线与抛物线的交点为Q、

题文

抛物线方程为y²=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于22，求p的值的范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）∵抛物线y²=p（x+1）的准线方程是x=-1-p4
∵直线x+y=m与x轴的交点为（m，0）在准线右边
∴m＞-1-p4
∴m＞-1-p4，即4m+p+4＞0．
由y2=p(x+1)x+y=m
得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．
而判别式△=（2m+p）²-4（m²-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，可知△＞0．
因此，直线与抛物线总有两个交点； …（4分）
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的两根，
∴x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，
即有x₁x₂+y₁y₂=0．又Q、R为直线x+y=m上的点，
因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．
于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2（m²-p）-m（2m+p）+m²=0，
∴p=f（m）=m2m+2，由p＞04m+4+p＞0得m＞-2，m≠0；…（9分）
（3）解法一：由于原点O到直线x+y=m的距离不大于22，于是|0+0-m|2≤22，
∴|m|≤1．由（2），知m＞-2且m≠0
故m∈[-1，0）∪（0，1]．
由（2），知f（m）=m2m+2=（m+2）+4m+2-4qqqq1q
当m∈[-1，0）时，任取m₁、m₂，0＞m₁＞m₂≥-1，则
f（m₁）-f（m₂）=（m₁-m₂）+（4m1+2-4m2+2）
=（m₁-m₂）[1-4(m1+2)(m2+2)]．
由0＞m₁＞m₂≥-1，知0＜（m₁+2）（m₂+2）＜4，1-4(m1+2)(m2+2)＜0．
又由m₁-m₂＞0知f（m₁）＜f（m₂）因而f（m）为减函数．
可见，当m∈[-1，0）时，p∈（0，1]．
同样可证，当m∈（0，1]时，f（m）为增函数，从而p∈（0，13]．
解法二：由解法一知，m∈[-1，0）∪（0，1]．由（2）知
p=f（m）=m2m+2=11m+2m2．
设t=1m，g（t）=t+2t²，则t∈（-∞，-1]∪[1，+∞），
又g（t）=2t²+t=2（t+14）²-18．
∴当t∈（-∞，-1]时，g（t）为减函数，g（t）∈[1，+∞）．
当t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数，g（t）∈[3，+∞）．
因此，当m∈[-1，0]时，t∈（-∞，-1]，p=1g(t)∈（0，1]；
当m∈（0，1]时，t∈[1，+∞），p∈（0，13]．

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解析

考点

据考高分专家说，试题“抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0）.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点