已知函数f=x2-ax+4+2lnx当a=5时，求f的单调递减函数；设直线l是曲线y=f的切线，若l的斜率存在最小值-2，求a的值

题文

已知函数f（x）=x²-ax+4+2lnx
（I）当a=5时，求f（x）的单调递减函数；
（Ⅱ）设直线l是曲线y=f（x）的切线，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分别在x₁、x₂（x₁≠x₂）处取得极值，求证：f（x₁）+f（x₂）＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为函数的定义域为{x|x＞0}，
当a=5时，f（x）=x²-5x+4+2lnx，f′(x)=2x-5+2x=2x2-5x+2x=2(x-12)(x-2)x，
所以由f'（x）＜0，解得12＜x＜2，
即函数的单调递减区间为（12，2）．
（Ⅱ）因为x＞0，所以f′(x)=2x+2x-a≥24-a=4-a，
当且仅当x=1时取等号．因为直线l的斜率存在最小值-2，
所以4-a=-2，即a=6．
当l取得最小斜率时，因为f（-1）=-1，即切点为（1，-1）．
从而切线方程l：y+1=-2（x-1），即：2x+y-1=0．
（Ⅲ）f′(x)=2x+2x-a=2x2-ax+2x，
因为f（x）分别在x₁、x₂（x₁≠x₂）处取得极值，
所以x₁、x₂（x₁≠x₂）是方程2x2-ax+2x=0，
即2x²-ax+2=0的两个不等正根．
则△=a²-16＞0解得a²＞16，且x1+x2=a2，x1x2=1．
从而f（x₁）+f（x₂）=x21+x22-a(x1+x2)+8+2ln⁡(x1x2)
=(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln⁡(x1x2)
=(a2)2-2×1-a×a2+8+2ln1=-a24+6，
因为a²＞16，所以-a24+6＜2．
即不等式f（x₁）+f（x₂）＜2成立．

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-ax+4+2ln.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。