设f=ax2+bx+c，f=0，g=ax+b．求证：函数y=f与y=g的图象有两个交点；设f与g（

题文

设f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；
（2）设f（x）与g（x）的图象交点A、B在x轴上的射影为A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范围；
（3）求证：当x≤-3时，恒有f（x）＞g（x）．题型：未知难度：其他题型

答案

证明：（1）由 y=f（x）=ax²+bx+c，y=g（x）=ax+b得
ax²+（b-a）x+（c-b）=0 （*）
△=（b-a）²-4a （c-b）
∵f（x）=ax²+bx+c，f（1）=0
∴f（1）=a+b+c=0 …（3分）
又a＞b＞c
∴3a＞a+b+c＞3c即a＞0，c＜0
∴b-a＜0，c-b＜0，a＞0
∴△=（b-a）²-4a（c-b）＞0
故函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；…（5分）
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则x₁、x₂是方程（*）的两根
故x₁+x₂=-b-aa，
x₁x₂=c-ba，
所以|A₁B₁|=|x₁-x₂|=(x1+x2)2-4x1x2
=(b-aa)2-4c-ba=(b-a)2-4a(c-b)a
又a+b+c=0，故b=-（a+c）
因而（b-a）²-4a（c-b）=（-2a-c）²-4a（a+2c）=c²-4ac
故|A₁B₁|=c2-4aca=(ca)2-4(ca)
=(ca-2)2-4…（8分）
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞-（a+c）＞c
∴-2＜ca＜-12
∴|A₁B₁|的取值范围是（32，23）…（10分）．
证明：（3）不妨设x₁＞x₂，则由（2）知：
32＜x₁-x₂＜23①
则x₁+x₂=-ca=1-ba
由a＞b＞c得：ca＜ba＜1，
故0＜1-ba＜1-ca…（12分）
又-2＜ca＜-12，
故32＜1-ca＜3，
因而0＜1-ba≤32
即0＜x₁-x₂≤32②
由①、②得：-3＜x₂≤0，
即方程（*），也就是方程f（x）-g（x）=0的较小根的范围是（-3，0]．
又a＞0，故当x≤-3时，
f（x）-g（x）＞0恒成立，
即当x≤-3时，恒有f（x）＞g（x） …（14分）．

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解析

b-aa

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点