已知二次函数f=ax2+bx+c满足f=0．若a＞b＞c，证明f的图象与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离d满足：32＜d＜3；

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，证明f（x）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离d满足：32＜d＜3；
（Ⅱ）设f（x）在x=t+12（t＞0，t≠1）处取得最小值，且对任意实数x，等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹（其中n∈N，g（x）=x²+x+1）都成立，若数列{c_n}的前n项和为b_n，求{c_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．
∴结合a＞b＞c，可得a＞0，c＞0．
因此ac＜0，得b²-4ac＞0…（1分）
即f（x）的图象与x轴有两个交点．
∵f（1）=0，得x=1是f（x）=0的一个根．
∴由根与系数的关系可知f（x）=0的另一个根是ca，可得d=|1-ca|．
∵ca＜0，d=1-ca，且a＞b＞c，b=-a-c，
∴a＞b=-a-c＞c．
由此可得ca＜-1-ca＜1，即-2＜ca＜-12，32＜1-ca＜3．
∴两个交点间的距离d满足：32＜d＜3．…（3分）
（II）∵f（x）在x=t+12处取得最小值，∴x=t+12是f（x）的对称轴方程．
由f（x）图象的对称性及f（1）=0可知f（t）=0．  …（5分）
令x=1，得a_n+b_n=1…①；
再令x=t，得tan+bn=tn+1…②
由①、②联解，可得bn=t-tn+1t-1．…（7分）
∴n＞1时，cn=t-tn+1t-1-t-tnt-1=tn(1-t)t-1=-tn．
又∵n=1时，c1=b1=t-t2t-1=-t，也符合
∴{c_n}是首项为c₁=-t，公比为q=t的等比数列，且{c_n}的通项公式cn=-tn． …（8分）

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。