题文
已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0），设关于x的方程f（x）=0的两实数根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α，β，且|α-β|=1．（1）若a，b均为负整数，求f（x）解析式；
（2）若α＜1＜β，求（x1+a）（x2+a）的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）=x，∴ax2+4x+b=x，由题意知，α+β=-3a αβ=ba |α-β|=1
∴a2+4ab-9=0；
∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2
（2）令g（x）=ax2+3x+b，
由于关于x的方程f（x）=0的两实数根为x1，x2，则x1+x2=-4ax1x2=ba
所以（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2=ba+a2-4
=9-a24a2+a2-4=94a2+a2-174
由α＜1＜β，且|α-β|=1得，0＜α＜1＜β＜2，
所以g(0)＜0 g(1)＞0 g(2)＜0 a＜0 4ab=9-a2
解得-3＜a＜-1，即1＜a2＜9，
由函数y（t）=94t+t在（0，32）上单调递减，在(32，+∞)单调递增，
而t=a2∈（1，9），则y（t）∈[3，374），故所求取值范围为[-54，5）
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解析
α+β=-3a αβ=ba |α-β|=1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
