题文
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤12(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵x≤f(x)≤12(1+x2)在R上恒成立，∴1≤f(1)≤12(1+12)=1，即f（1）=1
∵f（x-4）=f（2-x），∴函数图象关于直线x=-1对称，
∴-b2a=-1，b=2a．
∵f（1）=1，∴a+b+c=1
又∵f（x）在R上的最小值为0，
∴f（-1）=0，即a-b+c=0，
由b=2aa+b+c=1a-b+c=0，解得a=c=14b=12，
∴f(x)=14x2+12x+14；
（2）由（1）得，g(x)=f(x)-k2x=14[x2-2(2k2-1)x+1]，
∴g（x）对称轴方程为x=2k2-1，
∵g（x）在[-1，1]上是单调函数，
∴2k2-1≤-1或2k2-1≥1，
解得k≥1或k≤-1或k=0，
∴k的取值范围是k≥1或k≤-1或k=0．
（3）假设存在存在t∈R满足条件，
由（1）知f(x)=14x2+12x+14=14(x+1)2，
∴f（x+t）≤x⇔（x+t+1）2≤4x且x∈[1，m]，
⇔t≥-x-2x-1t≤-x+2x-1在[1，m]上恒成立⇔t≥(-x-2x-1)maxt≤(-x+2x-1)min
∵y =-x-2x-1在[1，m]上递减，
∴(-x-2x-1)max=-4，
∵y =-x+2x-1在[1，m]上递减，
∴(-x+2x-1)min=-m+2m-1=-(m-1)2
∴-4≤t≤-(m-1)2，∴-(m-1)2≥-4，(m-1)2≤4，
∵m＞1，∴m-1≤2，
∴m≤9，∴m的最大值为9．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
