已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，过点F1斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF2，|AF2|、|AB|、|BF

题文

已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F₁、F₂，过点F₁斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF₂，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求Γ的离心率；
（Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有
|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，①
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，②
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF₂|=a，|AB|=43a，|BF₂|=53a，
所以点A为短轴端点，b=c=22a，
Γ的离心率e=ca=22．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x²+2y²=a²．
不妨设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
则C、D坐标满足x2+2y2=a2y=kx，
由此得x₁=-a1+2k2，x₂=a1+2k2．
设C、D两点到直线AB：x-y+22a=0的距离分别为d₁、d₂，
因C、D两点在直线AB的异侧，则
d₁+d₂=(x2-x1)-(y2-y1)2
=(1-k)(x2-x1)2
=2(1-k)a1+2 k2．…（8分）
∴S=12|AB|（ d₁+d₂）
=12•43a•2(1-k)a1+2k2
=22a23 • 1-k1+2 k2．
设t=1-k，则t＞1，
(1-k )21+2k2=t22t2-4t+3=12-4t+ 3t2，
当1t=23，即k=-12时，(1-k)21+2k2最大，进而S有最大值．…（12分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。