设函数f=ax2+bx+c同时满足下列条件：①f=1；②当x∈R时，恒有f≥x成立；③当x∈R时，恒有f=

题文

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；②当x∈R时，恒有f（x）≥x成立；③当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=4f（x）-4x+2，试问g（x）是否存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．若存在，求出这样的区间[a，b]，若不存在，试说明理由．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）因当x∈R时，恒有f（x）≥x成立，
即ax²+（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1）²-4ac≤0，且a＞0，①
当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，则函数f（x）=ax²+bx+c和图象的对称轴是x=-1，
即-b2a=-1，∴b=2a，②
又f（1）=1，∴a+b+c=1，③
由①②③解得：a=14，b=12，c=14，
∴f（x）的表达式为f（x）=14x²+12x+14．
（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x²-2x+3，
假设存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．
∵g（x）在[a，b]上单调，∴a≥1或b≤1．
当a≥1时，g（x）在[a，b]上单调增，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[a²-2a+3，b²-2b+3]，
∴a2-2a+3=ab2-2b+3=b，此方程组无解；
当b≤1时，g（x）在[a，b]上单调减，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[b²-2b+3，a²-2a+3]，
∴a2-2a+3=bb2-2b+3=a，此方程组无解；
综上可知，不存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足条件．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点