已知a＞0，函数f=x|x-a|+1．当a=1时，求所有使f=x成立的x的值；当a∈时，求函数y=f在闭区间[

题文

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；
（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）当a=1时，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=x2-ax+1，x≥a-x2+ax+1，x＜a，
1°．当0＜a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x）=x²-ax+1，对称轴x=a2≤12＜1，
所以函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．当1＜a≤2时，x=a时函数f（x）_min=f（a）=1；
3°．当2＜a＜3时，x≤2＜a，这时，f（x）=-x²+ax+1，对称轴x=a2∈(1，32)，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函数f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因为a＞0，所以a＞a2，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上递增；y₂=-x²+ax+1在(-∞，a2)递增，在[a2，a)上递减．
因为f（a）=1，所以当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
又f(a2)=a24+1≥2•a2•1=a，当且仅当a=2时，等号成立．
所以，当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点；
当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点；
当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．

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解析

x2-ax+1，x≥a-x2+ax+1，x＜a

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点