已知二次函数f=ax2+bx+1，设方程f=x的两个实数根为x1和x2．如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f的对称

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x₁和x₂．
（1）如果x₁＜2＜x₂＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即4a+2b-1＜016a+4b-3＞0
由可行域可得ba＜2，∴x0=-b2a＞-1．
（2）由g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，知x1x2=1a＞0，故x₁与x₂同号．
①若0＜x₁＜2，则x₂-x₁=2（负根舍去），
∴x₂=x₁+2＞2．
∴g(2)＜0g(4)＞0，即4a+2b-1＜016a+4b-3＞0⇒b＜14；
②若-2＜x₁＜0，则x₂=-2+x₁＜-2（正根舍去），
g(-2)＜0g(-4)＞0，即4a-2b+3＜016a-4b+5＞0⇒b＞74．
综上，b的取值范围为b＜14或b＞74．

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解析

4a+2b-1＜016a+4b-3＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。