设f=ax2+x-a，g=2ax+5-3a若f在x∈[0，1]上的最大值是54，求a的值；若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈

题文

设f（x）=ax²+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是54，求a的值；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）可能取得最大值为f（0），f（1），f（-12a）
①当f（0）为最大值时，求得a=-1.25，由二次函数的最大值位置x=-12a∈[0，1]，与在x=0处取得最大值矛盾，故f（0）为最大值不成立；
②当f（1）为最大值时，f（1）=1≠1.25，故x=1处，f（x）取不到最大值；
③当f（-12a）为最大值时，由f（-12a）=4，可得-4a2-14a=54，∴a=-14或a=-1，
当a=-14时，-12a=2不在[0，1]内，故舍去．
综上知，a=-1；
（2）依题意f（x）⊆g（x），
①a＞0时，g（x）∈[5-3a，5-a]，f（x）∈[-a，1]
所以5-3a≤-a5-a≥1，解得，a∈[52，4]；
②a=0时，不符题意舍去；
③a＜0时，f（x）最小值为f（0）或f（1），其中f（0）=-a，而-a＜5-a，不符合题意
∴f（1）=1＜5-a，也不符合题意
综上，a∈[52，4]．

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解析

12a

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=ax2+x-a，g（x）=2.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。