已知函数f(x)=x2-ax+14x-4×2x-a，x≥ax＜a，若x＜a时，f＜1恒成立，求实数a的取值范围；若a≥-4时，函数f在实

题文

已知函数f(x)=x2-ax+14x-4×2x-a，x≥ax＜a，
（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a≥-4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，所以令2^x=t，则有0＜t＜2^a，
所以f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为t2-4×t2a＜1，
即42a＞t-1t在t∈（0，2^a）上恒成立，--------------------------------------（2分）．
令g(t)=t-1t，t∈(0，2a)，则g′(t)=1+1t2＞0，------------------------------（3分）．
所以g(t)=t-1t在（0，2^a）上单调递增，-------------（4分）．
所以g(t)＜g(2a)=2a-12a，所以有：42a≥2a-12a．
所以52a≥2a，所以（2^a）²≤5，所以2a≤5-----------------------------------------（5分）．
所以a≤log25．----------------------------（6分）．
（2）当x≥a时，f（x）=x²-ax+1，即f(x)=(x-a2)2+1-a24，----------（7分）．
①当a2≤a，∴a≥0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f（x）在[a，+∞）单调递增，
所以f（x）_min=f（a）=1；-------------------------------------------------（8分）．
②当a2＞a，∴-4≤a＜0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f（x）在[a，a2)单调递减，在(a2，+∞)单调递增，所以f(x)min=f(a2)=1-a24．
所以由①②可得：当x≥a时有：f(x)min=1-a24，-4≤a＜01，a≥0．---------------------（9分）．
当x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），则h(t)=t2-42at=(t-22a)2-44a，
③当0＜22a＜2a，∴2^2a＞2，∴a＞12时，h（t）在(0，22a)单调递减，在(22a，2a)上单调递增h(t)min=h(22a)=-44a；---------------------------------------（10分）．
④当22a≥2a，∴2^2a≤2，∴a≤12时，h（t）在（0，2^a）单调递减，h（t）∈（h（2^a），h（0））=（4^a-4，0）
所以，此时，h（t）在（0，2^a）上无最小值；---------------------------------------------（11分）．
所以由③④可得当x＜a时有：当a＞12时，f(x)min=h(t)min=-44a；
当a≤12时，无最小值．------------------------------（12分）．
所以，由①②③④可得：
当a＞12时，因为-44a＜1，所以函数f(x)min=-44a；---------------------------（13分）．
当0≤a≤12时，因为4^a-4＜0＜1，函数f（x）无最小值；--------------------------------（14分）．
当-4≤a＜0时，4a-4＜-3≤1-a24，函数f（x）无最小值．-------------------------（15分）．
综上所述，当a＞12时，函数f（x）有最小值为-44a；当-4≤a≤12时，函数f（x）无最小值．
所以函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围为(12，+∞)．---------（16分）．

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解析

t2a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2-ax+14x-4.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。