已知二次函数f对任意x∈R，都有f=f恒成立，设向量a=，b=，c=，d=（1，

题文

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，12），c=（cos2x，1），d=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设f（x）的二次项系数为m，m≠0，
设其图象上两点为（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因为(1-x)+(1+x)2=1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵a•b=（sinx，2）•（2sinx，12）=2sin²x+1≥1，c•d=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①当m＞0时，f（a•b）＞f（c•d）⇔f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+π2＜2x＜2kπ+32π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴π4＜x＜34π．
②当m＜0时，同理可得0≤x＜π4＜或34π＜x≤π．
综上：f（a•b）＞f（c•d）的解集是：
当m＞0时，为{x|π4＜x＜34π}；
当m＜0时，为{x|0≤x＜π4，或34π＜x≤π}．

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解析

(1-x)+(1+x)2

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。