已知二次函数f=ax2+bx+c，设x1，x2∈R且x1＜x2，f≠f．求证：方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）．求证：方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x₁，x₂）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：令g（x）=f（x）-12[f（x₁）+f（x₂）]=ax²+bx+c-12[f（x₁）+f（x₂），
因为△=b2-4a[c-f(x1)+f(x2)2]=b²-4ac+2a[f（x₁）+f（x₂）]=b²-4ac+2a[ax12+bx1+c+ax22+bx2+c]=[b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2，
又x₁＜x₂，所以△＞0，
所以g（x）=0有两个不等实根，即方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根；
而g（x₁）=f（x₁）-12[f（x₁）+f（x₂）]=-f(x2)-f(x1)2，g（x₂）=f（x₂）-12[f（x₁）+f（x₂）]=f(x2)-f(x1)2，
∴g（x₁）•g（x₂）=-14[f（x₂）-f（x₁）]²＜0．
再由g（x）的图象是连续的，可得g（x）在区间（x₁，x₂） 内必有零点，即 f（x）-f(x1)+f(x2)2=0在区间（x₁，x₂） 内必有实数根．
综上可得，方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x₁，x₂）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。