已知二次函数f=ax2+bx满足f=f+x-1．求f的解析式；求函数f的零点，并写出f＜0时，x取值的集合；

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点，并写出f（x）＜0时，x取值的集合；
（Ⅲ）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1，∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，∴-(2a-b)=b+1a-b=-1，解得a=-12，b=12．∴f(x)=-12x2+12x．…（5分）
（ II）由f（x）=0得函数的零点为0，1．
又函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，∴f（x）＜0时x＞1或x＜0．
∴x取值的集合为{x|x＞1或x＜0}．…（9分）
（ III）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1．
①当a＞1时，令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[1a，a]，令g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[1a，a]．∵对称轴u=-1，∴g（u）在[1a，a]上是增函数．∴gmax(u)=g(a)=a2+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，∴a=3，a=-5（舍）．
②当0＜a＜1时，令u=a^x，∵x∈[-1，1]∴u∈[a，1a]∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，1a]，∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，1a]上是增函数．∴gmax(u)=g(1a)=(1a)2+2a-1=14，∴1a=3，1a=-5（舍），∴a=13．
综上a=13或a=3．…（14分）

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解析

-(2a-b)=b+1a-b=-1

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点