设函数f=x2-2tx+2，其中t∈R．若t=1，求函数f在区间[0，4]上的取值范围；若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（

题文

设函数f（x）=x²-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；
（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．
（3）若对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8，求t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为f（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，
所以f（x）在区间（-∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），
（1）若t=1，则f（x）=（x-1）²+1．
①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，10]；
所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．                     …（3分）
（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5”．
①若t=1，则f（x）=（x-1）²+1，
所以f（x）在区间（-∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增．
②当1≤a+1，即a≥0时，
由[f（x）]_max=f（a+2）=（a+1）²+1≤5，得-3≤a≤1，
从而 0≤a≤1．
③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]_max=f（a）=（a-1）²+1≤5，得-1≤a≤3，
从而-1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[-1，1]．                             …（6分）
（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8”等价于“M-m≤8”．
①当t≤0时，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．
从而 t∈∅．
②当0＜t≤2时，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t²．
由M-m=18-8t-（2-t²）=t²-8t+16=（t-4）²≤8，得
4-22≤t≤4+22．
从而  4-22≤t≤2．
③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t²．
由M-m=2-（2-t²）=t²≤8，得-22≤t≤22．
从而 2＜t≤22．
④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．
从而 t∈∅．
综上，t的取值范围为区间[4-22，22]．                      …（10分）

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解析

2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。