题文
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）当a=13，c=2时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac=12，求a的值；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m2-2m+1对所有x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当a=13，c=2时，f(x)=13x2+bx+2，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
因为f（2）=0，
设另一个根为x1，则2x1=6，x1=3．（2分）
则f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}．（4分）
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，因f（c）=0，
设另一个根为x2，则cx2=ca，于是x2=1a．（6分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则1a＞c，
则三交点为(c， 0)， (1a， 0)， (0， c)，（8分）
这三交点为顶点的三角形的面积为S=12(1a-c)c=8，且ac=12，
解得a=18， c=4．（10分）
（3）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则1a＞c，
所以f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m2-2m+1，对所有x∈[0，c]恒成立，
必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所有m2-2m+1≥1，即m2-2m≥0，
解得m≥2或m≤0，而m＞0，
所以m的最小值为2．（16分）
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
