题文
已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx．（Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=92，x2x3=6，f(-1)=56，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f′(1)=-12a，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于3，求ba的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）因为f(x)=x(13ax2+12bx+c)，又x1+x2+x3=92，x2x3=6，则x1=0，x2+x3=92，x2x3=6．因为x2，x3是方程13ax2+12bx+c=0的两根，则-3b2a=92，3ca=6．即b=-3a，c=2a．
又f(1)=56，即13a+12b+c=56，所以，13a-32a+2a=56，即a=1，从而b=-3，c=2．
所以，f(x)=13x3-32x2+2x． 因为f'（x）=x2-3x+2，由x2-3x+2＜0，得1＜x＜2．
故f（x）的单调递减区间是（1，2），单调递增区间是（-∞，1），（2+∞）．
（Ⅱ）因为f'（x）=ax2+bx+c，f′(1)=-12a，所以a+b+c=-12a，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-a2＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
（1）当c＞0时，因为f′(0)=c＞0，f′(1)=-a2＜0，则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
（2）当c≤0时，因为f′(1)=-a2＜0，f′(2)=a-c＞0，则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
（Ⅲ）设m，n是导函数f'（x）=ax2+bx+c的两个零点，则m+n=-ba，mn=ca=-32-ba．
所以|m-n|=(m+n)2-4mn=(-ba)2-4(-32-ba)=(ba+2)2+2．
由已知，(ba+2)2+2≥3，则(ba+2)2+2≥3，即(ba+2)2≥1．
所以ba+2≥1或ba+2≤-1，即ba≥-1或ba≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 -3a＜b＜-34a．
因为a＞0，所以-3＜ba＜-34．
综上分析，ba的取值范围是[-1，-34)．
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=13ax3+12bx2.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
